30 Temmuz 2008 Çarşamba

RASYONEL SAYILAR(TARİHİ NOTLAR)

Mısırlılarda Kesirler• Mısırlılar kesirleri paydaları 1 olacak şekilde sınırlandırmışlardır.• Herhangi bir pozitif rasyonel sayı; pozitif tam sayıların çarpmaya göre terslerinin toplamı şeklinde ifade edilebilir. 1 2 Yukarıdaki örnekler gibi herhangi bir rasyonel sayının sınırsızca bir çok temsili vardır. Bu ifadeler Eski Mısırlılar tarafından kullanıldığı için, Mısır Kesirleri olarak adlandırılır. Bu hiyeroglifler ağızdan çıkan bir harfe (R) çevrilmiş ve kullanılmıştır. Bu yüzden yukarıdaki kesir şeklinde ifade edilmiştir.Kesirler Ve RomalılarRomalılar subunitlerin yerine kesirleri kullanmaktan kaçınmışlardır. Ayakları zerrelere (yani ayak hesabını, parmak hesabına ) Pound’ ları da Ounc’ lara bölmüşlerdir. 1 Pound = 454 gram, 1 Ounc= 28,3 gram 1 Pound = 16 Ouncve Romalıların 1 parçasının adı Uncia’dır. Bu da 340 gcrama tekabül eder. Rasyonel Sayılar ve YunanlılarYunanlılar Rasyonel sayıları gerçekten çok seviyorlardı. Abartısız olarak Yunanlıların Rasyonel Sayılara taptığı söyleniyor. Pisagor tarafından bulunan klişe şu idi. Dünya güzeldi çünkü onun yapısı ve işleyişi tam sayıların oranı olarak, matematiksel olarak ifade ediliyordu. Geometrik ifadelerin her zaman rasyonel sayılar biçimde ifade edilmesi, Pisagor’un mantığının temel ilkelerinden biriydi. Kenar uzunluğu bir olan karenin köşegenin bir rasyonel sayı olmadığı anlaşıldıktan sonra bu klişenin güvenirliği azaldı. 1 1 1 1Yunanlılar bu bilgiyi sır olarak saklamaya çalıştılar. Çünkü bu onları utandırıyordu. Bütün uzunluklar Rasyonel sayılarla ifade edilemiyordu. Rasyonel sayılar oranları ve paylaşımları ölçmede yeterli olmasına rağmen uzunlukları ifade de yetersizdi. Bu amaç için yeni bir sayı sistemi kurmak gerekliydi. İkinin karekökü bu sayı sistemine bir örnektir. İkinin karekökü Yunanlılar tarafından bulunan bir sayı değildi.TARİHSEL NOTLARKesirArapçada kesir anlamına gelen “al-kasr” kelimesi Latince’ deki kırmak anlamına gelen “fractus” kelimesinden türetilmiştir. İngilizce’ deki kesir kelimesi 1321 yılında ilk kez Chavcer tarafından kullanılmıştır.“ Kesir çizgisi payın üste, paydanın alta yazıldığı ufak bir çizgidir.” der.Bölme Sembolü ( )Bölme sembolü; John Wallis (1616-1703) yılında adapte edilmiş , İngiltere’ de ve Amerika’ da kullanılmıştır. (fakat Avrupa’ da ( iki nokta üst üste kullanılıyordu.) 1923 yılında, Matematik Komitesi açıkladı ki: ne : ne de  işaretleri tam olarak kullanılıyor veya kullanılmıyor.Bölüm (-) işaretinin iş hayatında çok önemli bir anlamı olmadığına göre bunu matematiğe (kesirli ifadelere ) adapte edelim ve noktaların arasında “/ ” ‘ u kullanalım. Bundan sonra  işareti matematiksel bir ifade haline dönüştü.RASYONEL SAYILARTarihsel olarak, bölme işlemi için gerekli olan kapanma kümesi, çıkarma işlemi için de gerekli plan kapanma kümesi ihtiyacından önce gelmektedir. k için bir ayı bulamaya ihtiyacımız vardır. Bu yüzden; 1 2 = k Mısırlılar kesirleri paydası 1 olacak şekilde sınırlandırmışlardır.Romalılar subunitlerin yerine kesirleri kullanmaktan kaçınmışlardır.Ayakları zerrelere (baş parmak) ve libreleri de ounclara bölmüşlerdir. (pound: 454 - ounc: 28,3) ve Romalıların biriminin 12. parçası uncle olarak adlandırılır. Buna rağmen, insanlar hesaplamalarda daha pratik bir kesinlik sağlamaya ihtiyaç duymuşlar ve bölme işlemindeki teoriksel kapanma gereksinmiştir. Z kümesindeki tam sayılarda, bazı bölme işlemleri olanaklıdır. Buna rağmen, bazıları değilidir. Rasyonel sayılarBir rasyonel sayı; iki tam sayının kendi aralarında oranı gibi ifade edilebilen gerçek bir sayıdır. Genellikle a / b şeklinde yazılır ve payda (b) sıfıra eşit değildir.Rasyonel ayılar genellikle kesirler olarak adlandırılır. Kesirlerin ondalık basamağında olan 0-9 arasındaki genişlemeleri sınırlı ya da periyodiktir. Bütün rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir. Genellikle büyük ve kalın simgeyle gösterilir. Rasyonel olmayan gerçek sayılar irrasyonel olarak adlandırılır.Rasyonel Sayıların İnşasıMatematiksel olarak; tam sayı çiftlerinin düzenli olarak tanımlandığı sayılar sıfıra eşit değildir. Bu çiftleri toplama ve çıkarma altında takip eden şu kurallara göre tanımlayabiliriz.1. (a,b) + (c,d) = (a x d + b x c , b x d )(a,b) x (c,d) = (a x c, b x d)Bizim beklentimize uygun 2/4 = 1/2 eşitliğini denklik ilişkisi olarak tanımlayabiliriz. (a, b)  (c,d)  a x d = b x cbu denklik ilişkisi toplama ve çarpma üzerinde uyumlu olarak tanımlanır. Q’ u bölüm kümesi olarak tanımlayabiliriz. Denklik İlişkisi(a,b) ve (c,d) iki kesir olsun. Eğer ad = bc ise (c,d) kesrine denktir denir.(a,b)  (c,d) biçiminde gösterilir. (a,b)  (c,d)  ad = bcörnek (1,2) ve (3,6) elemanlarından her ikisi de kesirdir. 1.6 = 2.3 olduğundan (1,2) kesri (3,6) kesrine denktir. Denklik Sınıfı(a.b) kesrinin elemanına denk olan elemanlarının kümesi yani (a,b)’ nin denklik sınıfı ( ) ile gösterilir. Örnek: ( ) = {....., (-2,-4).(-1,-2),(1,2),(2,4).......} = {(x,2x): x  Z ve x  0}’ dır.Rasyonel Sayılar Ve Kesirlera , b  Z ve şeklinde (b  0) ifade edilen sayılar kesirler olarak adlandırılır. b burada bütünü temsil ediyor. a ise parçayı temsil ediyor.Rasyonel Sayıa , b  Z ve şeklinde (b  0) ve a , b aralarında asal olmalıdır. Bu şekildeki sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar denklik sınıflarından oluşmuştur. biçimdeki en sade şekli bu denklik bağıntısını temsil eder. Mesela ; ( ) = {........., ,......... }Denklik sınıfında bulunan bütün elemanlar kesirdir. temsili kesir ve bu denklik sınıfını temsil ettiği için rasyonel sayıdır. Rasyonel sayılar denklik sınıflarından oluşmuştur.Önemli Notlar  verilmiş ve c  0 ‘ dır. Görüyoruz ki biz b  0 ya da d  0 diye bir açıklama kullanmıyoruz. Çünkü kesirli olmanın şartı paydanın sıfıra eşit olmamasıdır.Rasyonel sayılar genellikle kesirler olarak adlandırılır. kesirlerin ondalık basamağında bulunan sayıların genişlemeleri sınırlı ya da periyodiktir. = 1,66666...., =0,142857142, = 0,5Sonuç OlarakRasyonel sayılar düzenli olarak yoğun bir kümedir. Herhangi iki rasyonel sayı arasında diğer bir rasyonel sayı vardır. Aslında sayılamaz çoklukta rasyonel sayı vardır.Rasyonel sayılar bölgesel sıklığın olmadığı alanın bir örneğidir. Bu alan tamamen bağlantısızdır. Rasyonel sayılar tamamlanıyor ve Reel sayılar da rasyonel sayıların tamamlayıcısıdır. Rasyonel olmayan Reel sayılara İrrasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar Reel sayıların alt kümesidir.

Tarihte Doğal Sayılar, Doğal Sayıların Tarihçesi, Doğal Sayı Tarihi

SAYILARIN TARİHİ TARİHİN İLK RAKAMLARI TARİHİN EN ESKİ RAKAMLARI OLAN SÜMER RAKAMLARI M.Ö 3200’E DOĞRU BÖYLE DOĞDU. Sayı sistemleri SAYILARIN TARİHİ TARİHİN İLK RAKAMLARI TARİHİN EN ESKİ RAKAMLARI OLAN SÜMER RAKAMLARI M.Ö 3200’E DOĞRU BÖYLE DOĞDU.

Sayıların tarihçesi

Saymanın Tarihi Sayılar, insanlığın tarihi kadar eskidir. Sözlü saymanın ne zaman başladığını bilmiyoruz. İnsanlar sayıları yazmaya başladıklarında daha konuşmalarını yazamıyorlardı. Yani "Orada kocaman bir hayvan var" diye yazamadan, 37 sayısını basit simgeler kullanarak belirtebiliyorlardı. MÖ 30 000 döneminden kalan bazı kalıntılarda böyle gösterimler bulunmuştur. Yazının bulunması için 25 000 yılın daha geçmesi gerekti. Sayı sistemleri Sayı sistemleri çok eskilere uzanır. İsadan önce 30 000 - 25 000 döneminde kemiklerin üzerine çentikler yaparak sayılar yazılıyordu. Bu döneme ait bir kurt kemiğinde 5'erli gruplara ayrılmış 55 çentik vardır. Bu sistemde bir çentiği | ile gösterirsek, | gösterimi 1 sayısına, gösterimi 2 sayısını karşılık geliyordu. Benzer şekilde gösterimi 13 sayısını gösteriyordu. Daha büyük sayıları yazmak için ne kadar uğraşmak gerektiğini denemek için bir saatteki dakika sayısı olan 60 sayısını, ya da bir yıldaki gün sayısı olan 365 sayısını yazmayı deneyin. İlkel Sayı Sistemleri İlk sayma sistemleri birebir eşlemeye dayanıyordu. Bu yöntem küçük sayılar için kullanışlıydı. Örneğin 4 sayısı

SAYILARIN TARİHÇESİ

Sayılar, insanlığın tarihi kadar eskidir. Sözlü saymanın ne zaman başladığını bilmiyoruz. İnsanlar sayıları yazmaya başladıklarında daha konuşmalarını yazamıyorlardı. Yani "Orada kocaman bir hayvan var" diye yazamadan, 37 sayısını basit simgeler kullanarak belirtebiliyorlardı. MÖ 30 000 döneminden kalan bazı kalıntılarda böyle gösterimler bulunmuştur.
Yazının bulunması için 25 000 yılın daha geçmesi gerekti.
Sayı sistemleri
Sayı sistemleri çok eskilere uzanır. İsadan önce 30 000 - 25 000 döneminde kemiklerin üzerine çentikler yaparak sayılar yazılıyordu. Bu döneme ait bir kurt kemiğinde 5'erli gruplara ayrılmış 55 çentik vardır. Bu sistemde bir çentiği | ile gösterirsek, | gösterimi 1 sayısına, || gösterimi 2 sayısını karşılık geliyordu. Benzer şekilde ||||||||||||| gösterimi 13 sayısını gösteriyordu.
Daha büyük sayıları yazmak için ne kadar uğraşmak gerektiğini denemek için bir saatteki dakika sayısı olan 60 sayısını, ya da bir yıldaki gün sayısı olan 365 sayısını yazmayı deneyin.
İlkel Sayı Sistemleri
İlk sayma sistemleri birebir eşlemeye dayanıyordu. Bu yöntem küçük sayılar için kullanışlıydı. Örneğin 4 sayısı gösterimi ile gösteriliyordu. Sayılar büyüyünce yüzlerce arka arkaya sıralanmaya başladı. Bu şekilde yazılan iki sayının aynı sayı olup olmadığını anlamak bile zordu.
Bu sayı sisteminde kaç farklı sembol vardır?
Bir düzinede 12 adet vardır. Bu sistemi kullanarak bu sayıyı yazmayı dener misiniz?
12 düzine bir gros eder. Bir grosda kaç adet olduğunu bu sistemi kullanarak yazmayı dener misiniz?
Bu kadar az sembol kullanan bu sayı sisteminde bütün doğal sayılar yazılabilir mi?

Çember


- Funny bloopers are a click away

Cornelius Escher


Matematica De Mauritus Cornelius Escher - Click here for more amazing videos

3 oğlunun ve 17 devesinin olduğu 1 kralın hikayesi


The Story Of 1 King His 3 Sons And 17 Camels ! - Watch the best video clips here

RAMON LLULLl HIPERCUBO


RAMON LLULLl HIPERCUBO - The funniest videos clips are here

Bir sayı, onun iki katına eşittir


One Number Is Equal To Its Double - Funny bloopers R us

24 Temmuz 2008 Perşembe

Türk-İslam Dünyası'nda Trigonometr

İçinde bulunduğumuz yüzyılda yapılan bilimsel araştırmalar. göstermiştir ki; trigonometriye ait temel bilgiler, 8. ile 16. yüzyıl Türk-İslam Dünyası matematikçileri tarafından ortaya konulmuş ve belli bir noktaya kadar da geliştirilmiştir. Bunun nedenini, şu şekilde açıklamak mümkündür.
Bilindiği gibi, 8. ile 16. yüzyılda Türk-İslam Dünyası'nın hemen her yöresinde astronomi (gökbilim) çalışmaları ve bunun sonucu olarak da, yoğun bir rasathane (gözlemevi) kurma çalışmaları vardı. Bu rasathanelerdeki bilimsel çalışmalarda, astronomiye yardımcı olarak, trigonometri kullanılmaktaydı.
Astronominin temelini teşkil eden küresel astronomi, doğrudan doğruya, küresel trigonometrinin astronomiye uygulanmasından doğmuştur. Gezegen ve uydu ile yıldızların gökküresindeki yerleri (koordinatları) ve hareketleri ile ilgili hesaplamalar; küresel üçgenin, küresel trigonometriye uygulanmasıyla elde edilebilmektedir. Dolayısıyla, o devir Türk-İslam Dünyası'nda, Trigonometri müstakil bir bilim haline gelmiş ve oldukça gelişmiştir.
8. ile 16. yüzyıl Türk-İslam Dünyası matematik ve astronomi bilginlerinin hazırlamış oldukları "Ziyc" adlı eserin hepsinde, bugünkü trigonometrinin temel bilgileri, ilk olarak ortaya konulmuştur. Gene bu devir Türk-İslam Dünyası bilginleri, Batlamyos'un (Claidius ptolemeios 85-160) ünlü eseri, değişik tarihlerde değişik matematik ve astronomi bilginleri tarafından mıcıstı (al-magesti) adıyla şerh edilmiştir. Bu şerhlerde de, yer yer trigonometri bilgileri zenginleştirilip geliştirildi.
Batı'da objektif olarak hazırlanmış, matematik tarihi ve astronomi tarihi ile ilgili eserlerde, bu hükümlerin açık olarak belirtildiğini görmek mümkündür.

ESKİ YUNANLILARDA TRİGONOMETRİ

Trigonometride: "Herhangi bir üçgende, dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir" şeklinde temel bir teorem vardır. Bu teoremin adı Fisagor Teoremi olarak bilinir. Gerçekte; bu teoremin varlığı, Fisagor'dan ortalama 2000 yıl kadar önceleri, Eski Mısır ile Mezopotamyalılar Babil çağında bilinmekte idi. Mezopotamyalılar, bu teoremin, hem özel ve hem de genel şeklini biliyorlardı.
Bilim tarihi eserleri; Tales'in (Miletos, M.Ö. 640 ?-548 ?) Fisagor (M.Ö. 569 ?-500 ?) ve Öklid'in (M.Ö. 330 ?-275 ?), Eski Mısır ve Babil yörelerini uzun yıllar dolaşmış olduklarını belirttikleri gibi, bu bilginlerin temel matematik bilgilerini, Mısır ve Babil'den elde etmiş olduklarını açıklar.

Mezopotamyalılar'da Trigonometri

İnceleyebildiğimiz kaynaklar; Mezopotamyalılar'da, temelinde geometri bulunan, bugünkü trigonometri cetvellerinin "ilkel ve fasılalı" bir örneği ile karşılaşılmakta olduğunu, ve Hipparchos'un trigonometri çalışmalarının, ilkel başlangıcının "Mezopotamya Matematiğine" kadar geri gitmesinin mümkün sayılabileceğini belirtmektedir. Aydın Sayılı, adı geçen eserinde bu konuda geniş bilgi verdikten sonra, "Trigonometri tarihinin, Embriyolojik Menşeinin Mezopotamyalılar'a kadar geri gittiğini ve Mezopotamyalılar'dan, Hipparchos'un bu yönden etkilenmiş olduklarını ileri sürebiliriz" der.

ESKİ MISIRDA GEOMETRİ

İnceleyebildiğimiz kaynaklar; Mısır Matematiğinde seked veya sekd kelimelerinin, bir açının cotangent'ına denk anlam ifade etmesinden hareket ederek, trigonometrinin, başlangıcını eski Mısırlılar'a kadar götürmenin gerektiğini belirtir. Bu konuda Aydın Sayılı Mısırlılar'da ve Mezopotamyalılar'da Matematik, Astronomi ve Tıp adlı eserinde şunları yazar: Mısır'da seked dışında, bu konuda herhangi bir gelişmeye şahit olmuyoruz. Seked'e benzeyen ya da onunla aynı olan bir kavramla, "Mezopotamya Matematiğinde" de karşılaşılmakta olduğu ve trigonometrinin başlangıcını Mısırlılar'a götürmek isabetli düşünce sayılmaz. "Mısır Geometrisinin", "Doğru Geometrisi" olarak vasıf taşıdığını belirterek, müşterik Gandz'a atfen de Mısır'da "Açı Geometrisinin" mevcut olmadığını belirtir.

Bulmaca çözer gibi matematik!..

17 Temmuz 2008 Perşembe

ORİGAMİ

Origami Nedir?

Kağıdı yalnızca katlayarak, kesme, yapıştırma vb. gibi işlemlerden hiçbirine başvurmadan figürler oluşturma sanatına "Origami" denir.

Biraz Daha İnceleyelim

Origami, en çok Japonya'da gelişmiştir. Bu ülkede hem yüzlerce geleneksel katlama biçimi, hem de bu konuda kapsamlı bir kaynak birikimi oluşmuştur. Armağan verilirken üstüne iliştirilen kağıttan katlanmış süsler noşi denir. Bunlardan başka Origami ile kuş, hayvan, böcek, çiçek ve insan figürü gibi daha pek çok nesne oluşturulabilir. Bazen hayvanların hoş hareketler yapabilecek gibi biçimlendirildiği de olur. Bunlar arasındaq en çok bilinen kuyruğu çekildiğinde kanatlarını çırpan tavus kuşu ile arkasına hafifçe vurulduğunda zıplayan kurbağadır. Tokyolu Yoşizva Akira, Modern Origami sanatının en başarılı ustalarından biri olarak kabul edilir. Akira'nın Origami üzerine çeşitli kitapları vardır.

Origami, İspanya ve Güney Amerika'da da gelişmiştir. İspanyol Yazar ve Felsefeci Miguel de Unamuno Origami ile uğraşmış, çok sayıda yeni hayvan biçimi yapmış ve Origami üzerine 1902 yılında "Aşk ve Pedagoji" adlı eğlenceli bir deneme yazmıştır.



Kağıt Katlamanın Bazı Matematiksel Yönleri

Kağıt katlarken, doğal olarak bir çok geometrik kavram ortaya çıkar. Bunlardan bazıları şunlardır: Kare, Dikdörtgen, Dik Üçgen, Eşleşim, Köşegen, Orta Nokta, Kiriş, Alan, Yamuk, Orta Dikme, Pisagor Teoremi , Geometri ve Cebir ile ilgili kavramlar.

KÖK ALMAK

(22 Mart Gardner, "Scientific American" adlı popüler bilim derisinde 1957 yılından beri eğlenceli Matematik yazıları yazar. Bu yazıda anlatılan gösterilerin hemen hepsi onun bu yazılardan birinden alınmadır...)

Tanıdığım bir öğretim üyesi İngiltere'de öğrenimdeyken gördüğü bir gösteriyi anlatmıştı. Sahnede Hintli bir kadın gösterdi. Ustası küpkök ve beşinci mertebeden kök alıyormuş. Yani kendisine bir sayı veriyormuşsunuz, o da göz açıp kapayıncaya kadar size "hangi sayı kendisyle 3 kez, 5 kez çarpılırsa o verdiği sayı çıkar" söylüyormuş. "Bunda ne zorluk var?" diyenlere soruyorum: "550.731.776" sayısının 5.mertebeden kökü kaçtır?"

Arkadaşımın anlattığı bu hüner, beni gerçekten çok etkilemişti. "Aşk olsun." demiştim; ta ki işin püf noktasını bulana kadar. Bulunca da hayranlığım kızgınlığa dönüştü.

1 ile 100 arasındaki bir tamsayı, 5.kuvveti olmak koşuluyla size verilen sayının 5.mertebeden kökünü bulmak gerçekten çocuk oyuncağı. Ancak bunun için aşağıdaki cetveli ezberlemek gerekiyor.
Bu işi çocuk oyuncağı yapan özellik şu: Bir tam sayının birler basamağındaki rakam ile o sayının beşinci kuvvetinin birler basamağındaki rakam aynıdır. Şimdi diyelim ki, biri size; "550.731.776" sayısını verdi. Sayı 550 milyon ile başladığına göre 5. mertebeden kökünün 50 ile 60 arasında, yani 50 küsür olduğunu ezberinizdeki cetvelden saptayın. Ve son basamağa kadar bekleyin. (aradaki basamakları dinlemeseniz de olur.) Son basamak 6 olduğuna göre aranan kök "56" dır. 5. mertebeden kök almak kadar olmasa bile, küpkök alma da oldukça kolay. Bunun için 1'den 10'a kadar sayıların küpünü ezberlemek gerekli.
Sayı 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Küpü 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000

Görüldüğü gibi; 2, 3, 7 ve 8'in küpleri dışında küpün birler basamağındaki rakam, küpü alınan saynın aynısı. 2, 3, 7 ve 8 durumunda ise bunların toplamı 10 ediyor.

Şimdi diyelim ki, küp kökü alınacak sayı 31. Son 3 basamağı atın, 314'ü alın. 314; 216 ile 343 arasında olduğundan küp kökün onlar basamağı 6'dır. (neden?) Küpün birler basamağında 2 olduğuna göre küpkökün birler basamağında 8 olması gerekir. Şu halde aranan küpkök "68" dir.

ABAKÜS

Bizim ilk hesap makinemiz ellerimizdi. Zamanla aynı dili konuşmayan Tüccarlar ve diğerleri arasında el-sayı dili gelişti. Günümüzde de genç öğrenciler sayarken parmaklarını kullanırlar.

Sayısal rakamlar on parmağımızı aşınca yeni yöntemler araştırılmaya başlandı. Çakıl taşlarıyla sayıların belli gruplara ayrılmasına "Çakıl Taşı Yöntemi" dendi. Ama bu yöntemle işin çoğunu insan yapıyordu. Bu sıralarda taşınabilir bir çakıl taşı aleti yapma düşüncesi ortaya çıktı. Bundan Abaküs geliştirildi. Çin, Eski Yunan ve Roma'da değişik tür abaküsler kullanıldı. Günümüzde de Asya'nın birçok yöresinde Abaküs kullanılmaktadır.

Abaküs Nedir?

Abaküs; çağdaş hesap makinelerinin ve bilgisayarların atası sayılan hesap aygıtıdır. Abaküs'te amaç; toplama, çıkarma, çarpma ve bölme yapmaktır. Babilliler'in buluşu olan abaküs, yüzyıllar boyunca ticarette büyük önem taşımıştır. Abaküsün temeli Girit ve Miken'e dayanır. Yalnız Girit ve Miken Abaküsleri'nde süsleme vardı.

Biraz Daha İnceleyelim

Genellikle geniş bir hesap tahtası biçiminde olan abaküs, Ortaçağ boyunca Avrupa ve Arap Dünyası'nda olduğu kadar Asya'da da yaygın bir biçimde kullanılmış, Japonya'ya ise ancak XVI. yy.'da gitmiştir. Zamanla yerini basamak ve sıfır değerleri olan Hindu-Arap rakamlarının kullanılmasına bırakmakla birlikte, XVII. yy.'a değin Avrupa'da kullanılan abaküs Ortadoğu ve Japonya'da varlığını sürdürmektedir.

Çin Abaküsünde, enlemesine bir çubukla ortadan ikiye ayrılmış olan çerçevenin sağ bölümündeki iki boncuktan her biri "5" sayısını; sol bölümdeki beş boncuktan her biri ise 1 birimi simgeler.

Romalılar'ın kullandığı abaküste ise taşların istenen sıralar üstünde kaydırılmasına yarayan oluklar vardır.

MÖBİÜS ŞERİDİ ve KLEİN ŞİŞESİ

MÖBİÜS ŞERİDİ NEDİR?

Möbiüs Şeridi; bir tek yüzü ve bir tek kenarı bulunan yüzeydir.

Dikdörtgen şeklindeki bir kağıt şeridin bir kısa kenarını bir tam devir yaptırıp, diğer kenarıyla birleştirilince tek yüzlü Möbiüs Şeridi elde edilir.

Böyle bir yüzey modeli, bir ABCD köşeleri olan kağıdı alıp bunu 180 derece kıvırıp C noktasını A ile D noktasını B ile üst üste getirerek elde edilebilir. Bu yüzeyin üzerinde kalan ve kenarı kesmeyen bir eğri ile birleştirilebilir. Möbiüs Şeridi;kenarı düğüm yapmayan ve sürekli biçim değiştirerek çember haline gelebilen bir eğridir.

İlk köşelerini bir araya getirmeden n yarım devir burarak bir genelleştirme yapılabilir. Böylece n. basamaktan bir möbiüs şeridi elde edilir. n tekse yüzeyin ancak bir yüzü ve bir kenarı olur. n>1 için düğüm yapar. n çiftse n>2 için birbirine geçen iki yüzü ve iki kenarı vardır. Bu şeridin orta çizgiden kesme halinde şunlar elde edilir;

*** n çiftse; eski şeridin kenarları biçiminde düğüm yapan ve her biri ona benzeyen birbirine geçmiş 2 yeni şerit.

*** n tekse; n>= 3 için eskisinin kenarı biçiminde düğüm yapan ve basamağı 2n+2 olan tek bir şerit.



KLEİN ŞİŞESİ NEDİR?

***Ünlü Matematikçi KLEİN tarafından keşfedilmiştir.

***Klein Şişesi dışı olan, fakat içi olmayan bir şişedir.

***Kendisinin içinden geçer. İçine su konulmaya çalışılırsa, dökülen su aynı delikten dışarı çıkar.

***Klein Şişesi bir sürahi olarak kullanılamaz.



Klein Şişesi ile Möbiüs Şeridi Arasındaki Bağıntı

*Bir (tek) yüzlü cisimlerden Möbiüs Şeridi'nin iki kere kesilmesiyle ilginç bir şekil oluşur.

*Klein Şişesi, boylamasına ikiye kesilirse; iki adet Möbiüs Şerdi elde edilir.

PARADOKSLAR

Paradoks (Kısır Döngü) Nedir?

Bir sorunun cevabına ne doğru ne de yanlış diyemiyorsak bir Paradoks ile karşı karşıyayız demektir. Nicolas Baurbaki bu konuda;

"Ünlü paradokslar, on yıllar bazen de yüzyıllar boyunca mantıksal düşünceyi beslemiştir."

"Bu sayfada yazılı olan hiçbir şeyi okumayın." gibi buna benzer paradokslar ya kendileriyle çelişiyor gibi görünür, anlamsız ya da şaşırtıcı sonuçlara varır; ya da kısır döngü biçimindedir.

Paradokslar yüzyıllar boyunca insanları büyülemiş ve hayrete düşürmüştür. Paradokslara, Edebiyat, bilim ve Matematik'ten günlük yaşama kadar çok değişik alanlarda rastlanır. Ne tür paradoks olursa olsun ortaya çıkan sorular ve karışıklık hem ilginç, hem de eğlendiricidir. Özellikle Matematiksel paradokslar yeni buluşlara yol açabilir.

Paradoks Örnekleri

Bazı bilinen paradokslardan örneklere bakalım:

1) İkiye Bölme Paradoksu: Bir yolcu, belirli bir uzaklığa gidecektir. Önce gideceği yolun yarısını; sonra kalan yarısını; sonra kalanının yarısını;... yürümek zorundadır. Bu durumda hiçbir zaman gideceği yolun sonuna ulaşamayacaktır.

2) Euqlides Paradoksu: "Yaptığım açıklama yanlıştır."

3) Avukat Paradoksu: Yunanlı ünlü avukat Protogras, verdiği özel dersin ücreti ile ilgili olarak öğrencisiyle bir anlaşma yapar. Bu anlaşmaya göre öğrencisi aldığı ilk davayı kazanırsa bu ücreti avukata ödeyecek, kazanamazsa ödemeyecektir.

Dersin bitiminden hemen sonra herhangi bir dava almayan öğrenciden ses seda çıkmaz. Sabrını yitiren avukat, bir dava açarak bu ücreti öğrencisinden talep eder. Yeni avukat olan öğrenci bu ilk davasında kendini savunmayı üstlenir.

Bu davayı öğrenci kazanırsa ilk davasını kazanmış olacağı için davayı kaybeden hocasına parayı ödemek zorunda kalacaktır.

Tersine davayı kaybederse bu kez de davayı kaybettiği için hocasına yine ödeme yapmak zorunda kalacaktır.

4) Epimenides Paradoksu: Epimenides Giritli idi. Ve paradoksu şöyleydi; "Bütün Giritliler yalancıdır".

5) Walt Kelley Paradoksu: "Düşmanla karşılaştık ve o biziz".

6) Berber Paradoksu: Bu paradoks 1918'de çıkmıştır. Bir köyde, bir berber, kendi traş olmayan herkesi traş eder. Berberi kim traş edecek?

7) Oscar Wilde Paradoksu: "Günah işlemenin tek yolu onu kabul etmektir".

8) Don Kişot Paradoksu: Sanço Panço, Baratania adasının yöneticisidir. Adaya gelenler niye geldiklerini belirtmek zorundadır. Eğer doğruyu söylerlerse serbest kalacaklar, yalan söylerlerse asılacaklardır. Günün birinde bir yolcu gelir ve "Ben asılmak için buradayım". der. Sanço ne yapmalı?

9) Sonsuzlukla ilgili Paradoks: Doğal sayılar kümesi ve Doğal sayıların karelerinin kümesi bir bir eşlenebilir. Bu kümelerin eleman sayıları nasıl birbirine eşit olabilir?

10) Russell Paradoksu: Bertrand Russell'ın paradoksu küme üyeliğine ilişkindir. Bir küme ya kendisinin bir üyesidir, ya da değildir. Kendisinin bir üyesi olmayan kümelere "düzenli" diyelim. Örneğin, "İnsanların kümesi"nin kendisi, bir insan olmadığı için, nkendisinin bir üyesi değildir. Kendisini içeren kümeleri "düzensiz" olarak adlandıralım. Örneğin "beş elemandan fazla elemanı olan kümelerin kümesi" düzenli midir yoksa düzensiz midir? Eğer düzenliyse; kendinin bir üyesi olamaz. Tüm düzenli kümeleri içerdiğine göre ve kendisinin de düzenli olduğunu kabul ettiğimiz için, kendisini içermelidir. Ama eğer kendisini içeriyorsa, tanıma göre düzensizdir. Düzenli olduğunu varsayıp, düzensiz olduğu çelişkili sonucuna vardık. Diğer taraftan, eğer düzensiz ise, kendisini elemanı olarak içerir. Ama elemanlarının sadece düzenli kümeler olduğunu biliyoruz. Demek ki düzensiz ise düzenli olduğu sonucu ortaya çıkıyor. Russell Paradoksu, Alman Matematikçi Gottlob Frege'e büyük bir darbe indirmiştir. Frege, bu paradoksu öğrendiğinde, aritmetiğin mantıksal gelişimi hakkındaki kitabının ikinci cildini yeni bitirmişti. II.cildin ek bölümü şöyle başlar: "Bir bilim insanı için en üzücü olay, yapıtı tam bitmişken temellerinin çökmesidir. Bertrand Russell'ın bana gönderdiği mektup sonucunda, bu duruma düştüm..."

ALTIN ORAN

Altın Oran Nedir?

Dünyanın, insanların, bitkilerin, ağaçların... , kısacası Kainat'ın yaratılışında yaratıcının kullandığı orandır.

Aynı zamanda insanlar da teknolojide ve hayatta bu oranı kullanmaktadırlar. Kısaca biz altın orana "göz nizamının oranı" diyebiliriz.

Çoğu zaman doğayı gözlediğimizde bu oranın varlığını görebiliriz.



Altın Oran'ın Görüldüğü ve Kullanıldığı Yerler

1) Ayçiçeği: Ayçiçeği'nin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru tane sayılarının birbrine oranı altın oranı verir.

2) Papatya Çiçeği: Papatya Çiçeğinde de ayçiçeğinde olduğu gibi bir altın oran mevcuttur.

3) İnsan Kafası: Bildiğiniz gibi her insanın kafasında bir ya da birden fazla saçların çıktığı düğüm noktası denilen bir nokta vardır. İşte bu noktadan çıkan saçlar doğrusal yani dik değil, bir spiral, bir eğri yaparak çıkmaktadır. İşte bu spiralin ya da eğrinin tanjantı yani eğrilik açısı bize altın oranı verecektir.

4) İnsan Vücudu: İnsan Vücudunda Altın Oran'ın nerelerde görüldüğüne bakalım:

a) Kollar: İnsan vücudunun bir parçası olan kolları dirsek iki bölüme ayırır(Büyük(üst) bölüm ve küçük(alt) bölüm olarak). Kolumuzun üst bölü- münün alt bölüme oranı altın oranı verceği gibi, kolumuzun tamamının üst bölüme oranı yine altın oranı verir.

b) Parmaklar: Ellerimizdeki parmaklarla altın oranın ne alakası var diyebilirsiniz. İşte size alaka... Parmaklarınızın üst boğumunun alt boğuma oranı altın oranı vereceği gibi, parmağınızın tamamının üst boğuma oranı yine altın oranı verir.
5) Tavşan: İnsan kafasında olduğu gibi tavşanda da aynı özellik vardır.

6) Mısır Piramitleri: İşte size Altın Oran'ın en eski örneklerinden biri... Şimdi ne alaka Altın Oran ve Milattan Önce yapılan Mısır Piramitleri? Alaka şu; Her bir piramitin tabanının yüksekliğine oranı evet yine altın oranı veriyor.

7) Leonardo da Vinci: Bilindiği gibi Leonardo da Vinci Rönesans devri ünlü ressamlarındandır. Şimdi bu ünlü ressamın çizmiş oolduğu tabloları inceleyelim.

a) Mona Lisa: Bu tablonun boyunun enine oranı altın oranı verir.

b) Aziz Jerome: Yine tablonun boyunun enine oranı bize altın oranı verir.

8) Picasso: Picasso da Leonardo da Vinci gibi ünlü bir ressamdır. Ve resimlerinde bu oranı kullanmıştır.

9) Çam Kozalağı: Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu eğrinin eğrilik açısı altın orandır.

10) Deniz Kabuğu: Denize çoğumuz gitmişizdir. Deniz kabuklarına dikkat edenimiz, belki de kolleksiyon yapanımız vardır. İşte deniz kabuğunun yapısı incelendiğinde bir eğrilik tespit edilmiş ve bu eğriliğin tanjantının altın oran olduğu görülmüştür.

11) Tütün Bitkisi: Tütün Bitkisinin yapraklarının dizilişinde bir eğrilik söz konusudur. Bu eğriliğin tanjantı altın orandır.

12) Eğrelti Otu: Tütün Bitkisindeki aynı özellik Eğrelti Otu'nda da vardır.

13) Elektrik Devresi: Ya demek ki Altın Oran sadece Matematik ve kainatta değil, Fizik'te de kullanılıyormuş. Nasıl mı? Şöyle... Verilen n tane dirençten maximum verim elde etmek için bir paralel bağlama yapılması gerekir
14) Salyangoz: Salyangozun Kabuğu bir düzleme aktarılırsa, bu düzlem bir dikdörtgen oluşturur (-ki biz bu dikdörtgene altın dikdörtgen diyoruz.-) İşte bu dikdörtgenin boyunun enine oranı yine altın oranı verir.

15) OTOMOTİV SANAYİ: İlk önce ben size bir soru yönelteyim. Estetik bakımından bir Murat 131 mi daha çok ilginizi çeker yoksa bir Mazda ya da Toyota mı? Tabi ki Mazda ya da Toyota demişsinizdir. Peki bunun nedenini hiç düşündünüz mü? Ben size söyleyeyim. Şimdi Murat 131'e bakıyorsunuz, baktıkça içiniz kararıyor, yine bakıyorsunuz yine kararıyor. En sonunda ya kardeşim bu ne biçim araba diyorsunuz. Ama gidip bir Mazda ya da Toyota'ya bakıyorsunuz. Baktıkça içiniz rahatlıyor, yine bakıyorsunuz ferahlıyorsunuz. Çünkü o kadar güzel bir estetik var ki. İşte bu estetiği eğim sağlıyor. Mesela Murat 131'in önü, arkası, kapısı her yeri düz (Mübarek kibrit kutusu) Ama Mazda ya da Toyota'nın kapısında özellikle ön ve arka tamponunda bir eğim var. İşte bu eğimin eğrilik açısı araştırılmış ve bunun altın oran olduğu görülmüştür. Bundan dolayı Çin, Amerika, Japon Otomotiv Sanayi Dünya'da ilk üçü oluştururken; Türkiye maalesef ve maalesef 30-40-50. sıralarda yer almakta. İnşallah bir gün bunu biz de akıl ederiz...

16) MİMAR SİNAN: Mimar Sinan'ın da bir çok eserinde bu altın oran görülmektedir. Mesela Süleymaniye ve Selimiye Camileri'nin minarelerinde bu oran görülmektedir.

*** Görüldüğü üzere bir çok yerde bu ALTIN ORAN vardır.

*** Ben bu konuyu Sir James JANE adlı bir Fizikçinin sözüyle bitireyim:

"Yaratıcı, En Büyük Matematikçidir..."

Pİ SAYISI

SAYISININ PİSAGOR BAĞINTISINDAN YARARLANILARAK BULUNMASI

1- pi8.gif (958 bytes) KENAR SAYISI OLMAK ÜZERE, BİR DAİRE İÇİNDE KİRİŞ OLUŞTURAN BİR KENAR UZUNLUĞUNUN 4, 8, 16, 32 GEN'LER OLUŞTURACAK ŞEKİLDE ÇOĞALTILIP ELDE EDİLEN UZUNLUKLARIN pi8.gif (958 bytes) İLE ÇARPIMININ, ÇAPA BÖLÜNEREK 'NİN BULUNMASI. BİRİM 2r=1

pi.gif (4462 bytes)



2- 3 x pi8.gif (958 bytes) KENAR SAYISI OLMAK ÜZERE BİR DAİRE İÇİNE ÇİZİLEN EŞKENAR ÜÇGENİN DAİRE İÇİNDE KİRİŞ OLUŞTURAN BİR KENAR UZUNLUĞUNUN 3, 6, 12, 24 GEN'LER OLUŞTURACAK ŞEKİLDE ÇOĞALTILIP ELDE EDİLEN UZUNLUKLARIN 3 x pi8.gif (958 bytes) İLE ÇARPIMININ, ÇAPA BÖLÜNEREK SAYISININ BULUNMASI. BİRİM 2r=1

pi2.gif (3959 bytes)



3- BİRİM DAİRE İÇİNE ÇİZİLEN KARE'NİN ALANINDAN YARARLANILARAK , BİRİM DAİRENİN ALANININ HESAPLANARAK r 2 'YE BÖLÜNEREK SAYISININ BULUNMASI. BİRİM 2r = 1

pi3.gif (3978 bytes)



4- BİRİM DAİRE İÇİNE ÇİZİLEN EŞKENAR ÜÇGENİN ALANINDAN YARARLANILARAK, BİRİM DAİRENİN ALANININ HESAPLANARAK r 2 'YE BÖLÜNEREK SAYISININ BULUNMASI. BİRİM 2r = 1

pi4.gif (3983 bytes)



5- TÜM BU İŞLEMLERDEN SONRA SAYISININ BULUNABİLMESİ İÇİN GENEL İFADE YAZMAK İSTERSEK ,

pi5.gif (4177 bytes)

EŞİTLİĞİ ORTAYA ÇIKAR.



NOT: YUKARIDAKİ FORMÜLLERDE pi6.gif (946 bytes) vs. İLE GÖSTERİLEN SAYILAR İŞLEM BELİRLİ BİR NOKTADA KESİLMEK İSTENDİĞİNDE İFADENİN SON OLARAK ÇARPILACAĞI KATSAYILARDIR. İŞLEM KESİLDİĞİ NOKTADAN ÖNCE FORMÜLÜN ALTINDA VERİLEN KATSAYILAR DİKKATE ALINMAMALIDIR.



pi7.gif (3085 bytes)

DEVAM ETTİĞİNİZ TAKTİRDE SAYISINA VARILIR.

FRAKTAL

Fraktal Nedir?

Fraktal; matematikte, çoğunlukla kendine benzeme özelliği gösteren karmaşık geometrik şekillerin ortak adıdır. Fraktallar, klasik, yani Eukleidesçi geometrideki kare , daire , küre gibi basit şekillerden çok farklıdır. Bunlar, doğadaki, Eukleidesçi geometri aracılığıyla tanımlanamayacak pek çok uzamsal açıdan düzensiz olguyu ve düzensiz biçimli tanımlama yeteneğine sahiptir. Fraktal terimi “parçalanmış” yada “kırılmış” anlamına gelen Latince "fractus" sözcüğünden türetilmiştir. İlk olarak 1975’te Polonya asıllı matematikçi Beneoit B. Mandelbrot tarafından ortaya atılan fraktal kavramı, yalnızca matematik değil fiziksel kimya, fizyoloji ve akışkanlar mekaniği gibi değişik alanlar üzerinde önemli etkiler yaratan yeni bir geometri sisteminin doğmasına yol açmıştır.

Tüm fraktallar kendine benzer ya da en azından tümüyle kendine benzer olmamakla birlikte, çoğu bu özelliği taşır. Kendine benzer bir cisimde cismi oluşturan parçalar ya da bileşenler cismin bütününe benzer. Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde yinelenir ve tümüyle soyut nesnelerde sonsuza değin sürebilir; öyle ki,her parçanın her bir parçası büyütüldüğünde, gene cismin bütününe benzer. Bu fraktal olgusu, kar tanesi ve ağaç kabuğunda kolayca gözlenebilir. Bu tip tüm doğal fraktallar ile matematiksel olarak kendine benzer olan bazıları, stokastik, yani rastgeledir; bu nedenle ancak istatistiksel olarak ölçeklenirler. Fraktal cisimler,düzensiz biçimli olduklarından ötürü Eukleidesçi şekilleri ötelenme bakışına sahip değildirler. (Ötelenme bakışımına sahip bir cisim kendi çevresinde döndürüldüğünde görünümü aynı kalır.)

Fraktalların bir başka önemli özelliği de, fraktal boyut olarak adlandırılan bir matematiksel parametredir. Bu cisim ne kadar büyütülürse büyütülsün ya da bakış açısı ne kadar değiştirilirse değiştirilsin, hep aynı kalan fraktalların bir özelliğidir. Eukleidesçi boyutun tersine fraktal boyut, genellikle tam sayı olmayan bir sayıyla, yani bir kesir ile ifade edilir. Fraktal boyut, bir fraktal eğri yardımıyla anlaşılabilir.

Oluşturulmasının her aşamasında bu tip bir eğrinin çevre uzunluğu 4/3 oranında büyür. Fraktal boyut (D)4'e eşit olabilmesi için alınması gereken kuvvetini gösterir; yani;

3d =4 bu bakımdan fraktal eğriyi niteleyen boyut log4/log3 ya da kabaca 1,26'dır. Fraktal boyut, Eukleidesçi olmayan belirli bir biçimin karmaşıklığını ve şekil nüanslarını açığa çıkarır.

Kendine benzerlik ve tamsayı olmayan boyutlu kavramlarıyla birlikte fraktal geometri, istatistiksel mekanikte, özellikle görünürde rastgele özelliklerden oluşan fiziksel sistemlerin incelenmesinde giderek daha yaygın olarak kullanılmaya başlanmıştır. Örneğin, gökada kümelerinin evrendeki dağılımının saptanmasında ve akışkan burgaçlanmalarına ilişkin problemlerin çözülmesinde fraktal benzetimlerden (simülasyon) yararlanılmaktadır. Fraktal geometri bilgisayar grafiklerinde de yararlı olmaktadır. Fraktal algoritma ise, engebeli dağlık araziler ya da ağaçların karışık dal sistemleri gibi karmaşık, çok düzensiz doğal cisimlerin gerçektekine benzer görüntülerinin oluşturulabilmesini olanaklı kılmıştır.

PALINDROM

Palindrom Nedir?

Palindrom; baştan ve sondan okunduğunda değeri değişmeyen sayılardır. Bunların yazılı biçimlerine ise; "Dönüşük Sözcükler" denir.

Biraz Daha İnceleyelim

Dönüşüklük aslında bir tür görsel bakışıklık (simetri) anlamına geliyor. Sözlü dilde dönüşüklüğü sezmek kolay değil. Japon yazısında olduğu gibi, heceleri imlerle anlatan, ya da Arap yazısında olduğu gibi, aynı harfi sözcüğün başında, ortasında ve sonunda başka başka imlerle gösteren, sesli harf gibi kimi harfleri kullanmayan dillerde dönüşüklüğü keşfetmek daha zor, belki de olanaksız. Latin abecesini kullanan dillerde ise bu özelliği görmek görece daha kolay, onun için de taa Romalılar'dan beri bu diller dönüşük sözcükleri bulmuşlar, böylece tümceler kurmuşlar.

Bizim dilimizde bunların az bilinmesi biraz da abecemizin görece yeni olması, henüz yeterince bu açıdan araştırılmamış olmasından kaynaklanıyor, yoksulluğundan değil. Madem böyle bir özelliği var, biz de pek ala bu tür sözcükleri keşfedebiliriz, hatta böylece tümceler kurabiliriz.

Abecemizdeki kimi harfler başaşağı çevrildikleri zaman da okunabiliyorlar. Örneğin "I" harfi öyle. Bir aynaya tutulduklarında, cam gibi saydam bir yüzeye yazıldıklarında da okunabilenlerin olduğunu siz de gözlemişsinizdir. Kimi zaman bunlarla anlamlı sözcükler kurmak olası. Bu da başka bir bakışıklık türü. Üçüncü tekil kişiyi belirten "O" sözcüğü her türlü bakışıklığa sahip bir sözcük.

Örnekler

Dönüşük Sözcükler




Palindromlar



ANASTAS MUM SATSANA


1*1 = 1

EY EDİP ADANADA PİDE YE
11*11 = 121

TALAT ATTAN ATLA
111*111 = 12321
KABAK, KÜÇÜK
1111*1111 = 1234321
EFE, ANISINA
11111*11111 = 123454321
TALAT, AD
111111*111111 = 12345654321
ÜMMÜ, İKİ 1881

FIBONACCI (LEONARDO FIBONACCI)

KİM BU FIBONACCI?

Pisalı Leonardo Fibonacci Rönesans öncesi Avrupa'nın en önde gelen Matematikçisidir. Fibonacci için, "Matematik'i Araplar'dan alıp, Avrupa'ya aktaran kişi" denilebilir.

Fibonacci'nin yaşamı hakkında matematik yazıları dışında pek az şey biliniyor. İlk ve en iyi bilinen kitabı Liber Abaci'nin yazıldığı 1202 tarihine bakılırsa, 1170 dolayında doğmuş olabileceği sanılıyor. Bu yönde pek kanıt olmamakla birlikte İtalya'nın Pisa kentinde doğmuş olması olasılığı var. Fibonacci henüz çocuk yaştayken, Pisa'lı bir tüccar olan babası Guglielmo, Pisalı tüccarların yaşadığı Bugia adlı Kuzey Afrika limanına Konsül olarak atanır. (Bu liman, şimdiki Bejaya'dır ve Cezayir'dedir.) Babası burada oğluna hesap öğretmesi için bir Arap hoca tutar. Fibonacci daha sonra Liber Abaci'de hocasından "Dokuz Hint Rakamının Sanatını" öğrenirken duyduğu mutluluğu anlatacaktır.

Fibonacci'nin Liber Abaci adlı kitabının yayınlandığı yıllarda, Hindu-Arap sayıları, Avrupa'da Harzemli Muhammed Bin Musa'nın eserlerinin çevirilerini okuyabilmiş bir kaç "aydın" dışında bilinmiyordu. Fibonacci, kitabında bu rakamları anlatmaya şöyle başlar: "Dokuz Hint Rakamı 9 8 7 6 5 4 3 2 1 dir. Bu dokuz rakama "0" işaretinin de eklenmesiyle, her hangi bir sayı yazılabilir."

Liber Abaci, 13.yy. Avrupasında büyük ilgi görür, çok sayıda kopya edilir ve kilisenin yasaklamasına karşın Arap sayıları İtalyan tüccarlar arasında yayılır. Kitap Kutsal Roma İmparatoru II. Frderick'in dikkatini çeker. Frederick bilime düşkün bir imparatordur. Bilim adamlarını korur. Bu nedenle kendisine Stupor Mudi (Dünya Harikası) denilmektedir. 1220 yılında Fibonacci huzura çağrılır. Frderick'in bilim adamlarından biri tarafından sınava çekilir. Sonunda Fibonacci göze girer. Yıllarca hem imparatorla, hem de imparatorun dostlarıyla yazışır. 1225 yılında yazdığı Liber Quadratornum'u (Kare Sayıların Kitabı) imparatora ithaf eder. "Diyofantus Denklemleri"ne ayrılan bu kitap Fibonacci'nin baş yapıtıdır. Her ne kadar Liber Abaci'ye çok daha dar bir çevrenin ilgisini çekerse de kitap sayılar kuramına büyük katkı getirir.

1228'de Fibonacci, Liber Abaci'yi yeniden gözden geçirir ve kitabın bu ikinci yazılımını imparatorun baş bilimcisi Michael Socott'a ithaf eder. Bu tarihten 1240 yılına kadar Fibonacci hakkında hiç bir şey bilinmiyor. 1240'ta Pisa kenti kendisine kente yaptığı hizmetlerden dolayı "20 Pisa Lirası" yıllık bağlar. Bundan sonra Matematikçimiz ne kadar yaşadı, o da bilinmiyor.

Leonardo Fibonacci, Arap Matematik'ini kullanışlı Hindu-Arap sayılarını Batı'ya tanıtmakla çok büyük bir katkıda bulundu. Ancak ilginçtir, çağımız matematikçileri Fibonacci'nin adını. daha çok, Liber Abaci'de yer alan bir problemde ortaya çıkan bir sayı dizisi nedeniyle bilirler. Dolayısıyla Fibonacci'yi anlatan bir yazıda "Fibonacci Sayıları"ndan ya da "Fibonacci Dizisi"nden söz etmemek olmaz.Bu nedenle biz de bu bölümün geri kalan kesimini bu diziye ayıracağız...



PEKİ YA NEDİR BU FIBONACCI DİZİSİ?

Liber Abaci'de yer alan problemin metni aşağı yukarı şöyle;

"Adamın biri, dört bir yanı duvarla çevrili yere bir çift tavşan koymuş. Her çift tavşanın bir ay içinde yeni bir çift tavşan peydahladığı, her yeni çiftin de erginleşmesi için bir ay gerektiği ve tavşanların ölmediği var sayılırsa, 100 ay sonunda dört duvarın arasında kaç çift tavşan olur?"

Knuth dostumuza göre, Fibonacci bu problemi kitabına biyoloji biliminde bir uygulama olsun diye ya da nüfus patlaması sorununa bir çözüm getirsin diye koymamış (Ben de aynı kanıdayım...). Toplama alıştırması olarak düşünmüş bunu, besbelli. Her neyse biraz düşününce tavşan çiftlerinin aylara göre şöyle çoğalacağı ortaya çıkıyor:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...

Yani her ay sonundaki tavşan çifti sayısı o aydan hemen önceki iki aydaki sayıların toplamına eşit.

Neyse her halde sorumuzun cevabını merak ediyorsunuz... Alın size cevap... Bakın bakalım, kaç tavşan oluşurmuş 100 ayda???

CEVAP --->>> 354.224.848.179.261.915.075 TANE TAVŞAN OLUŞUR....



FIBONACCI DİZİSİ (BİRAZ DAHA CEBİRSEL)

*** Fibonacci Dizisi'nin özelliği şu; Fibonacci Dizisindeki bir terim kendinden önceki iki terimin toplamına eşittir.

FIBONACCI DİZİSİ'ni yazalım...

................1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.............

Görüldüğü gibi bir terim kendinden önceki iki terimin toplamına eşittir. Mesela;

1+1=2 2+3=5 3+5=8 5+8=13 8+13=21 13+21=34 ......... 89+144=233 gibi.

İsterseniz bir de bu Fibonacci Dizisinin Formülünü Yazalım:::
FIBONACCI DİZİSİNİN GÖRÜLDÜĞÜ VE KULLANILDIĞI YERLER:

1) Ayçiçeği: Ayçiçeği'nin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru taneler sayıldığında çıkan sayılar Fibonacci Dizisinin ardışık terimleridir.

2) Papatya Çiçeği: Papatya Çiçeğinde de ayçiçeğinde olduğu gibi bir Fibonacci Dizisi mevcuttur.

3) Fibonacci Dizisinin Fark Dizisi: Fibonacci Dizisindeki ardışık terimlerin farkıyla oluşan dizi de Fibonacci Dizisidir.

4) Ömer Hayyam veya Pascal veya Binom Üçgeni: Ömer Hayyam üçgenindeki tüm katsayılar veya terimler yazılıp çapraz toplamları alındığında Fibonacci Dizisi ortaya çıkar.

5) Tavşan: Zaten sorumuz tavşanla alakalı...

6) Çam Kozalağı: Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu taneler soldan sağa ve sağdan sola sayıldığında çıkan sayılar, Fibonacci Dizisi'nin ardışık terimleridir.

7) Tütün Bitkisi: Tütün Bitkisinin yapraklarının dizilişinde bir Fibonacci Dizisi söz konusudur; yani yaprakların diziliminde bu dizi mevcuttur. Bundan dolayı tütün bitkisi Güneş'ten en iyi şekilde güneş ışığı ve havadan en iyi şekilde Karbondioksit alarak Fotosentez'i mükemmel bir şekilde gerçekleştirir.

8) Eğrelti Otu: Tütün Bitkisindeki aynı özellik Eğrelti Otu'nda da vardır.

9) MİMAR SİNAN: Mimar Sinan'ın da bir çok eserinde Fibonacci Dizisi görülmektedir. Mesela Süleymaniye ve Selimiye Camileri'nin minarelerinde bu dizi mevcuttur.

*** Bu konumuzu da ünlü Fizikçi Sir James JANE'in bir sözüyle bitirelim:

Gökyüzüne bakıp da Yaratıcı'ya inanmayana hayret ediyorum...

Word'de Matematik Simgeleri Için Klavye Kisayollari Yaratmak

Bir araç çubugunun üstündeki simgeye sag fare tusu ile tiklanir. Özellestir seçilir. Yeni pencerede alttan klavye butonuna basilir. Katogorilerden "Ekle", komutlardan "simge:" seçilip, çift tiklanir. Sag alttaki simge butonuna tiklayip simgeyi seçeriz. Gerekirse yazitipi olarak "symbol" ya da "phyllis" seçilebilir. Daha sonra klavye özellestir penceresine geri dönülüp, "Yeni Kisayol Tusuna Bas" kisminda istedigimiz tusa basariz (ALT veya CTRL ile birlikte ve sag taraftan "Ata"yi seçeriz. Alt-Üst Indis,... simgeleri için ise Özellestir Penceresi'nde, alttan klavye butonuna basilir. Katogoriler'den "Tüm Komutlar", komutlardan simgenin adini bulup, "Yeni Kisayol Tusuna Bas" kisminda istedigimiz tusa basariz(ALT veya CTRL ile birlikte). Bu sayede su kisayollari yaratabilirsiniz:
ALT+X sigma
ALT+Z tav (T)
ALT+A teta
ALT+C alt indis
ALT+V üst indis

Kpss Matematik Kısa Yollar

Kural 1

İki basamaklı ve 5 ile başlayan sayıların karesi

Birler basamağı ile 25 sayısı toplanarak cevap bulunur.

Örnek1:

562 = 25+36= 61

Örnek2:

512 = 25+01= 26

Kural 2

Birler basamağındaki sayıları 1 olan 2 basamaklı 2 sayının çarpımı

a1 * b1 = a * b | a + b | 1

Sağdan sola doğru önce 1 sonra bu iki sayının onlar basamağındaki sayıların toplamını, sonra da çarpımını yazarız. a+b> 9 olursa 1 elde olarak geçer.

Örnek1:

31 * 61 = 3 * 6 | 3 + 6 | 1 = 1891

Örnek2:

91 * 71 = 9 * 7 | 9 + 7 | 1 = 9 * 7 | 16 | 1 = 6461


Kural 3

Sonu sıfırla biten sayıların çarpımı

Örnek1:

20 ile 300'ü çarpmanız gerektiğini düşünelim. İlk önce sıfırları dikkate almayın. 2*3 işleminden 6 elde edilir. Şimdi 6'nın arkasına dikkate almadığımız sıfırları ekleyin böylece sonuç 6000 çıkar.

Örnek2:

70*70 işlemini yapalım. Bunun için başta 7*7'i çarpıp 49'u yazar ve arkasına 2 tane 0 ekleyerek sonucu 4900 buluruz.

Kural 4

101, 1001, 10001, vb. bir sayı ile, bu sayıdan bir basamak küçük bir sayının çarpımı

Bunun için sayıyı yan yana 2 defa yazmak yeterlidir.

Örnekler:

101 * 68 = 6868

1001 * 752 = 752752

10001 * 4605 = 46054605

Kural 5

Bir sayının 25 ile çarpımı

A * 25 = A * 100/4

Bir sayıyı 25 ile çarpmak için önce o sayıyı 4 e böler, sonra 100 ile çarparız. Sayı tam olarak dörde bölünürse, bölümün arkasına iki sıfır konur, tam olarak bölünmeyip:

1 artarsa bölümün sonuna 25 yazılır

2 artarsa bölümün sonuna 50 yazılır

3 artarsa bölümün sonuna 75 yazılır.

Görüldüğü gibi bölümün sonuna artan sayının 25 katı yazılıyor.

Örnek1:

48 * 25 = 48/4 * 100

48/4 = 12 eder ve arkasına 2 sıfır yazarak 1200 buluruz.

Örnek2:

241 * 25 =?

241/4 = 60 buluruz ve 1 artar. Bu yüzden sonuna 25 yazarız. Sonuç 6025 olur.

Örnek3:

1642 * 25 =?

1642/4 = 410 ve artan 2 dir. 410'un sonuna 50 yazarız ve sonuç 41050 olur.


Kural 6

İki basamaklı bir sayının karesi

(ba)2 = b2 | 2ab | a2

Bu bize (b + a)2 sinin açılımı olan b2 + 2ab + a2 yi anımsatmaktadır, sadece aradaki toplama işaretleri ortadan kalkmıştır. Altı çizili sayılar elde olarak alınacaktır.

Örnek1:

312 = 32 | 2*3*1 | 12 = 9 | 6 | 1= 961

Örnek2:

762 = 72 | 2*7*6 | 62

49 | 84+3 | 6

49 | 87 | 6

49 + 8 | 7 | 6

5776

Kural 7

A gibi bir sayıya göre simetrik iki sayının çarpımı

A gibi bir sayıdan ±B kadar önce ve sonra gelen iki sayının çarpımı A2- B2 ye eşittir.

Örnekler:

808 * 793 = 800- 72 = 64000- 49 = 639951

525 * 475 = 5002- 252 = 25000- 625 = 249375

Not: Bu çıkarma işlemini şu şekilde pratik yoldan yapabiliriz. Sıfırlardan sağdan ilkini (1’ler basamağındakini) 10 diğerlerini 9 olarak düşünürüz ve sola doğru sıfırlardan sonraki ilk rakamdan 1 çıkarırız.

Kural 8

501 ile 999 arasındaki sayıların karesini bulma

999'un karesini bulalım hesap makinesinde yaparsak sonuç 998001 çıkacaktır. Biz bunu zihinden yapmak istersek 999'un 1000'den kaç eksik olduğunu bulacağız. 999, 1000'den 1 eksik o halde 1*1=1 yani 1000'den kaç eksikse o sayının karesini alıyoruz sonra 999'dan 1 çıkarıyoruz 999- 1=998. Bulduğumuz sayının yanına 3 tane 0 koyuyoruz. 998000 oldu. Sayımızın 1000'den kaç eksik oyduğunu bulmuştuk ve karesini almıştık. Bunu da sonra topluyoruz 998000+1=998001 işte sonucu zihinden bulduk (not: 1'in karesini aldık aynı şeyi 997 üzerine yapsaydık 3*3=9 alacaktık).

Kural 9

Aralarında 2 fark bulunan sayıların çarpımı

Bunun için sayıların ortalamasını kendisiyle çarparız ve bir eksiğini alırız. Örneğin 19 ile 21 i çarpmak için 20*20-1 işlemini yapar ve sonucu 399 olarak buluruz.

Aralarında 4 fark bulunan sayıların çarpımını bulmak için ise sayıların ortalamasını kendisiyle çarparız ve bu sefer dört eksiğini alırız. Örneğin 13 ile 9 u çarpmak için 11*11-4 işlemini yapar ve sonucu 117 olarak buluruz.

Kural 10

11 ile çarpma

Sayımız kaç basamaklı olursa olsun 11 ile çarpmak için birler basamağını yazıp, daha sonra sola doğru ikişer ikişer sayıların toplamıyla sonuca ulaşabiliriz.

Örnek1:

12*11=?

1 /1+2 / 2

1 3 2

Buradan 12*11= 132

Örnek2:

123 * 11 = ?

1 / 1+2 / 2+3 / 3

1 3 5 3

Buradan 123 x 11 = 1353.

Örnek3:

2134 * 11=?

2 / 2+1 / 1+3 / 3+4 / 4

2 3 4 7 4

Buradan 2134 x 11 = 23474.

Kural 11

100 den büyük ve 100 e yakın iki sayının çarpımı

Örnek1:

109*104 çarpımını hesaplayalım. Önce her zaman 1 yazılır. Sonra 9 ile 4 ün toplamı daha sonra 9 ile ün çarpımı yazılır. Cevap: 11336

Örnek2:

101*127=? Önce 1 sonra 1 ile 27 toplamı en sonunda ise 1 ile 27’nin çarpımı yazılır ve cevap 12827 olur.

Kural 12

Sonu 1 veya 9 ile biten bir sayının karesi:

212= 202+(20+21)

312= 302+(30+31)

192= 202-(20+19)

392= 402–(40+39)

Kural 13

Bir sayının 5 ile çarpımı

Bir sayıyı 5 ile çarpmak için 10 ile çarpıp yarısını almak yeterlidir. Örneğin, 42 ile 5 i çarpmak yerine 420 sayısını ikiye böler cevabı 210 buluruz.


Kural 14

Tek sayıların toplamı

1=12

1+3= 22

1+3+5= 32

1+3+5+7= 42

1+3+5+7+9= 52

1+3+5+7+9+11= 62

Kural 15

Sonu 5 ile biten sayıların karesi

(b5)2 = b*( b + 1 ) | 25

Sonu beş ile biten sayıların karesini bulmak için yirmi beş yazar, önüne bu sayının onlar basamağındaki sayısı ile onun bir fazlasının çarpımını yazarız.

Örnekler:

352 = 3*(3 + 1) | 25 = 3*4 | 25 = 1225

652 = 6*7 | 25 = 4225

852 = 8*9 | 25 = 7225

1052 = 10*11 | 25= 11025

Kural 16

Sonu 4 ile biten sayıların karesi
Örnek:

642 =?
İlk olarak bu sayının 1 fazlasının karesi bulunur.

Yani(64+1)2=652=4225 (bunu bulmayı kısa yoldan biliyoruz).
Sonra 64+65=129. Son olarak 4225- 129=4096. Yani 642= 4096

Kural 17

Sonu 6 ile biten sayıların karesi
Örnek1:

762=?
Önce 1 eksiğinin karesi alınır.752=5625.
Sonra 76+75=151. Son olarak 5625+151=5776 bulunur.
Örnek2:

712=?
(71- 1)=70
702=4900
70+71=141
4900+141=5041


Kural 18

a) 11 ile tüm rakamları 1 olan k basamaklı bir sayı çarpıldığında sonuç 1 ile baslar ve 1 ile biter 1’ler arasında k-1 tane 2 vardır.
Örnekler:
11x11111(5basamaklı)=122221
11x11111111(8basamaklı)=122222221

b)Yine tüm rakamları 1 ve basamak sayıları eşit olursa yan yana 1’lerin karesi yani 11111x11111 gibi sayı kaç basamaklıysa o kadar 123.... diye yazılır sonra tekrar geriye doğru inilir
Örnekler:
1111x1111(4basamaklı)=1234321
1111111x1111111(7basamklı)=1234567654321

c)Rakamlarının hepsi 1 ama basamak sayıları eşit olmadığında basamak sayısı az olanın basamak sayısı kadar 123... yazılır sonra iki sayının basamak sayıları farkı kadar hangi rakamda kalınmışsa tekrar edilir ve tekrar 1’e dönülür
Örnekler:
111(3basamklı)x111111(6basamaklı)= 12333321 (basamak farkları 3 tane olduğu için 3 tane daha 3 yazılır)
11111(5basamklı)x11111111(8basamaklı)=123455554321

Kısa yol Çarpma İşlemi

Arkadaşlar,aramızdan çok az kişi verilen iki sayıyı zihinden çarpma işlemi yapmayı başarır. Bazen onların bu özelliklerine imrenir ve “Keşke ben


de yapabilsem.” Diyerek iç geçiririz. Bu durum kişilerin bilgi ve yeteneklerinin yanı sıra, birtakım basit hesaplama yöntemlerini de kavramaları ile de ilgilidir.

Aşağıya bu tekniklerden birkaç tanesini sizler için hazırlamaya çalıştım.Herkese,kısa yoldan çarpma işlemi yapabilme becerisi geliştirebilmesi için başarılar diliyorum.





A - bir sayıyı; 10, 100, 1000,…. Vb , gibi sonu sıfırla biten sayılarla Çarpma İşlemi :



Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz



54 X 10 = 540 ( Eşitliğin sağ yanına 54 sayısı yazılır.Onlukta bulunan – 0 – sayısı yanına ilave edilir



328 x 100 = 32 800 ( Yukarıda olduğu gibi eşitliğin sağ yanına 328 sayısı yazılır.Diğer çarpan olan yüzlüğün sıfırları sayının sağ tarafına ilave edilir.)



B – 101 ‘le Çarpma İşlemi için aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.



101 x 24 = 2424 101 x 85 = ? bu soruyu da siz yapın.



101 x 71 = 7171 ( örnekleri 1001 ‘le de deneyin )



C – Sonu 5 Olan Sayıların Karesini bulma :



Sonu 5 olan sayıların almış olduğumuz karelerine bir göz atalım.

Sizin de dikkatinizi çekmiştir.Sonu 5 olan sayıların kareleri her zaman 25 ‘le bitiyor. Öyleyse, kısa yoldan 25 ‘in önündeki sayıları nasıl oluşturabiliriz. Çok kolay !!!

Çarpmak istediğniz sonu ve 5 ‘le biten bir sayının solundaki sayıya - 1 – ekleyin ve eklenmeden önceki sayıyla çarpın.Sonra da yanına 25 ekleyin.



25 x 25 = 625 35 x 35 = 1225

45 x 45 = 2025



Örnek : 35 x 35 ‘i yapalım. 35 sayısında 5 ‘in solundaki sayı 3 ‘tür.



3 + 1 = 4 ve 3 x 4 = 12 ‘dir 12 sayısının yanına 25 eklerseniz, işlemi kısa yoldan yaparsınız





Örnek: 135 x 135 = ?

13 + 1 = 14 13 x 14 = 182 25, 82 ‘nin soluna yazılır. 182 25 bulunur.



D - 9 ‘la çarpmak çok kolay !!!

Ellerinizi düz bir zemine yerleştirin.On parmağınızı da soldan sağa numaralandırın. Örneğin;

4 x 9 = ? işlemini hatırlayamadınız. Hemen sol elinizin soldan sağa dördüncü parmağı olan yüzük parmağınızı katlayın.Kapattığınız parmağın solunda kalan parmakları onluk olarak sayınız. ( 3 Parmak = 30 ), Sağında kalanları da birlik olarak sayınız ve katladığınız parmağı da ekleyerek 30’a ilave ediniz. ( 30 + 6 = 36 bulunur.) 7 x 9 ‘u da siz deneyin.



E – İki Basamaklı sayıları 11 ‘le çarpalım.



3 x 11 = 33 12 x 11 = 132 24 x 11 = 264



Buradaki özelliğe dikkatli bakın.Çok kolay…Çarpmanın sonucunu bulmak için,çarpılan sayının rakamlarını sabit tutarak bu rakamlar arasına rakamların sayı değerlerinin toplamını koyuyorsunuz. 24 x 11 de olduğu gibi..



24 ‘ü oluşturan 2 ile 4 rakamları sabit duruyor, aralarına 2 +4 = 6 giriyor.

2 4 = 2 6 4

matematiğin ilğinç dünyası

Bir garip sayı: 12345679 , nedense 8'i gezmeye gitmis...
12345679, bu sayının tek başına hiç bir özelliği yok.
Ama 9 ve 9'un katları ile çarptığınız zaman bakın
ortaya nasıl ilginç bir sonuç çıkıyor.


Matematikteki uyuma bakar mısınız? Şiir gibi.


12 345 679 x 9 == 111 111 111
12 345 679 x 18 == 222 222 222
12 345 679 x 27 == 333 333 333
12 345 679 x 36 == 444 444 444
12 345 679 x 45 == 555 555 555
12 345 679 x 54 == 666 666 666
12 345 679 x 63 == 777 777 777
12 345 679 x 72 == 888 888 888
12 345 679 x 81 == 999 999 999


veeee..


12 345 679 x 999 999 999 == 12 345 678 987 654 321

Matematik Tarihi

Matematikle ilgili eserler incelendiğinde; birinci grup olarak, Eski Yunan matematikçilerinden Tales (Thales M.Ö. 624-547), Fisagor (Pythagoras M.Ö. 569-500), Zeno (M.Ö. 495-435), Eudexus(M.Ö. 408-355), Öklid (Euclides M.Ö. 330?-275?), Arşimed (Archimedes M.Ö. 287-212), Apollonius (M.Ö. 260?-200?), Hipparchos (M.Ö. 160-125), Menaleas (doğumu, M.Ö. 80) İskenderiyeli Heron (? -M.S.80) , Batlamyos (Ptelemeos Claudis 85-165) ve Diophantos (325-400) ile bunların çağdaşlarının adları görülür. Daha sonra, ikinci grup olarak da Batı Dünyası matematikçilerinden; Johann Müler (Regiomantanus ,adıyla da tanınır, 1436-1476), Cardano (1501-1596), Decartes (1596. 1650), Fermat (1601-1665), Pascal (1623-1662), Newton (Isaac Newton 1642-1727), Leibniz (1646-1716), Mac Loren (1698-1748), Bernoulli'ler (Bu aileden sekiz ünlü matematikçi vardır. Bunlar; Jean Bernoulli l667-1748, Jacques Bernoulli 1654-1705, Daniel Bernoulli 1700-1782...), Euler (1707-1783), Gespard Monge (1746-1818), Lagrance (1776-1813), Joseph Fourier (1768-1830), Poncolet (1788-1867), Gauss (1777-1855), Cauchy (1789-1857), Lobatchewsky (1793-1856), Abel (1802-1829), BooIe (1815-1864), Riemann (1826-1866), Dedekind (1831-1916), H. Poincare (1854-1912) ve Cantor (1845-1918) ile bunların çağdaşlarının adları belirtilir Bu bilginlerin adlarını ve matematikle ilgili sistem, teorem ve kavramlarını her kademedeki orta dereceli okul ile üniversite ve dengi okul matematik kitaplarında görmek mümkündür.
Yukarıda; birinci grup olarak belirttiğimiz; Eski Yunan (Antik çağ, Grek) matematikçileri; M.Ö. 8. yüzyıl ile M.S. 2. yüzyıl arasında, ikinci grup olarak belirttiğimiz Batı Dünyası matematikçileri ise, 16. ile 20. yüzyıl arasında yaşamışlardır: Burada akla şöyle bir soru gelmektedir. 16. yüzyıldan önceki zaman içerisinde matematik konularında hiç bir araştırma ve çalışma olmamış mıdır? Özellikle, islamiyetin ilk yılları olan 7. yüzyıl ile 16. yüzyıl arasında yaşamış olan Türk-İslam Dünyası matematik bilginlerinin varlığı ve çalışmaları görmezlikten gelinmiştir.
Gerçek olan şu ki; Türk-İslam Dünyası matematikçileri, yukarıda birinci grup olarak adlarını belirttiğimiz Eski Yunan bilginlerinin ortaya koyup, yeterli çözüm getiremedikleri, matematik sorunlarına yeni çözümler getirdikleri gibi, bu bilime yeni sistem, kavram ve teorem kazandırmışlardır. Bu başarılarının sonucu bugünkü ileri matematiğin temelini atmışlardır. Her ne kadar, Batı'lı bazı bilim tarihçileri, Eski Yunan matematiğini geliştirmiş olmakla vasıflandırıyorlarsa da, son yüzyıl içinde yapılan araştırmalar, bu hükmün temelinden yanlış olduğunu ortaya koymuşlardır.
Ülkemizde, evrensel nitelikteki kendi alimlerimizin bilimsel yönlerine gereken ve yeterli önem verilmezken; Batı'da, özellikle son yüzyıl içerisinde, bilginlerimize ait yüzlerce cilt eser ve makalelerin yayınlandığı, hatta bu bilginlerimiz için, yaşadığı yüzyıllara adlar verildiği ve anma törenleri düzenlendiğini görmek mümkündür. Bunlardan birkaç örnek vermek gerekirse; dünyada ilk cebir kitabı yazanın Harezmi (Harezm 780-Bağdat 850), trigonometrinin temel bilginlerinden olan sinüs ve cosinüs tanımlarını ilk açıklayan el-Battani (Harran 858-Samarra 929) , tanjant ve cotanjant tanımları ile ilgili temel bilgileri Ebu'l Vefa (Buzcan 940-Bağdat 998), Pascal'a (Blaise pascal 1623-1662) izafe edilen ve cebirde önemli kuralları ihtiva eden "Binom Formülünün" Ömer Hayyam'a (1038-Nişabur 1132) ait ve Kepler'in (Johannes Kepler 1570-1630) araştırmalarına rehberlik edenin İbn-i Heysem (Basra 965-Kahire 1039). olduğunu belirtebiliriz. Ayrıca Sabit bin Kurra (Harran-826-Bağdat 901) için "Türk Öklid'i" bilim dünyasının en büyük alimi, Beyruni (Bruni) (Ket 973-Gazne 1052) için "Onuncu Yüzyıl Bilgini", ünlü Türk hükümdarı Uluğ Bey için "On Beşinci Yüzyıl Bilgini" öğrencisi Ali Kuşçu için "On Beşinci Yüzyıl Batlamyos'u" dendiğini de belirtmek mümkündür.
Yukarıda sadece birkaçının adını belirttiğimiz 8. ile 16. yüzyıl Türk-İslam Dünyası alimlerinin eserleri, Batı'da "Tercüme Yüzyılı" olarak adlandırılan 12. yüzyıl başlarından itibaren, önceleri zamanın bilim dili olan Latince'ye, daha sonradan da, öteki Batı dillerine çevrilmiştir. Çevrilen bu eserlerin asılları ise, Doğu Yazma Eserleri ile zengin olan Avrupa kütüphanelerinde muhafaza edilmekte ve hala, ilgili bilim adamlarının elinde, gerektiğinde temel müracaat kitabı, ya da kaynak eser olarak değerlendirilmektedir.

Tarihte matematik

Orta Çağ

İslâm Dünyası'nda başta aritmetik olmak üzere, matematiğin geometri, cebir ve trigonometri gibi dallarına önemli katkılarda bulunan matematikçiler yetişmiştir. Ancak bu dönemde gerçekleşen gelişmelerden en önemlisi, geleneksel Ebced Rakamları'nın yerine Hintlilerden öğrenilen Hint Rakamları'nın kullanılmaya başlanmasıdır.

Konumsal Hint rakamları, 8. yüzyılda İslâm Dünyası'na girmiş ve hesaplama işlemini kolaylaştırdığı için matematik alanında büyük bir atılımın gerçekleştirilmesine neden olmuştur.

Daha önce Arap alfabesinin harflerinden oluşan harf rakam sistemi kullanılıyordu ve bu sistemde sayılar, sabit değerler alan harflerle gösteriliyordu. Örneğin için a harfi, 10 için y harfi ve 100 içinse k harfi kullanılıyordu ve dolayısıyla sistem konumsal değildi. Böyle bir rakam sistemi ile işlem yapmak son derece güçtü.

Erken tarihlerden itibaren ticaretle uğraşanların ve aritmetikçilerin kullanmaya başladıkları Hint Rakamları'nın üstünlüğü derhal farkedilmiş ve yaygın biçimde kabul görmüştü. Bu rakamlar daha sonra Batı'ya geçerek Roma Rakamları'nın yerini alacaktır.

Cebir bilimi İslâm Dünyası matematikçilerinin elinde bağımsız bir disiplin kimliği kazanmış ve özellikle Hârizmî, Ebu Kâmil, Kerecî ve Ömer el-Hayyâm gibi matematikçilerin yazmış oldukları yapıtlar, Batı'yı büyük ölçüde etkilemiştir.

İslâm Dünyası'nda büyük ilgi gören ve geliştirilen bilimlerden birisi olan astronomi alanındaki araştırmalara yardımcı olmak üzere trigonometri alanında da seçkin çalışmalar yapılmıştır. Bu konudaki en önemli katkı, açı hesaplarında kirişler yerine sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant gibi trigonometrik fonksiyonların kullanılmış olmasıdır.

Yeni Çağ

Bu dönem diğer alanlarda olduğu gibi matematik alanında da yeniden bir uyanışın gerçekleştiği ve özellikle trigonometri ve cebir alanlarında önemli çalışmaların yapıldığı bir dönemdir.

Trigonometri, Regiomontanus, daha sonra da Rhaeticus ve Bartholomaeus Pitiscus`un çabalarıyla ve cebir ise Scipione del Ferro, Nicola Tartaglia, Geronimo Cardano ve Lodovice Ferrari tarafından yeniden hayata döndürülmüştür.

Yapılan çalışmalar sonucunda geliştirilen işlem simgeleri, şu anda bizim kullandıklarımıza benzer denklemlerin ortaya çıkmasına olanak vermiş ve böylelikle, denklem kuramı biçimlenmeye başlamıştır.

Rönesans matematiği özellikle Raffaello Bombelli, François Viète ve Simon Stevin ile doruk noktasına ulaşmıştır. 1585 yılında, Stevin, aşağı yukarı Takîyüddîn ile aynı anda ondalık kesirleri kullanmıştır.

Bu dönemde çağdaş matematiğin temelleri atılmış ve Pierre de Fermat sayılar kuramını, Pascal olasılık kuramını, Leibniz ve Newton ise diferansiyel ve integral hesabı kurmuşlardır.

Yakın Çağ

Bu dönemde Euler ve Lagrange, integral ve diferansiyel hesabına ilişkin 17. yüzyılda başlayan çalışmaları sürdürmüş ve bu çalışmaların gök mekaniğine uygulanması sonucunda fizik ve astronomi alanlarında büyük bir atılım gerçekleştirilmiştir. Mesela Lagrange, Üç Cisim Problemi'nin ilk özel çözümlerini vermiştir.

Bu dönemde matematiğe daha sağlam bir temel oluşturmaya yönelik felsefi ağırlıklı çalışmalar genişleyerek devam etmiştir. Russell, Poincaré, Hilbert ve Brouwer gibi matematikçiler, bu konudaki görüşleriyle katkıda bulunmuşlardır.

Russell, matematik ile mantığın özdeş olduğunu kanıtlamaya çalışmıştır. Matematiğin, sayı gibi kavramlarını, toplama ve çıkarma gibi işlemlerini, küme, değilleme, veya, ise gibi mantık terimleriyle ve matematiği ise "p ise q" biçimindeki önermeler kümesiyle tanımlamıştır.

Hilbert'e göre ise, matematik soyut nesneleri konu alan simgesel bir sistemdir; mantığa indirgenerek değil, simgesel aksiyomatik bir yapıya dönüştürülerek temellendirilmelidir.

Sezgici olan Brouwer de matematiğin temeline, kavramlara somut içerik sağlayan sezgiyi koyar; çünkü matematik bir teori olmaktan çok zihinsel bir faaliyettir. Poincaré'ye göre de matematiğin temelinde sezgi vardır ve matematik kavramlarının tanımlanmaya elverişli olması gerekir.

Yine bu dönemin en orijinal matematikçileri olarak Dedekind ve Cantor sayılabilir. Dedekind, erken tarihlerden itibaren irrasyonel sayılarla ilgilenmeye başlamış, rasyonel sayılar alanının sürekli reel sayılar biçimine genişletilebileceğini görmüştür. Cantor ise, bugünkü kümeler kuramının kurucusudur...

MATEMATİK DAHİLERİ 11

CAHİT ARF

(1910-1997)

Türk matematikçisi. Cebir, sayılar kuramı ve esneklik üzerine başarılı çalışmaları vardır.

MATEMATİK DAHİLERİ 10

GUISEPPE PEANO

(1858-1932)

İtalyan mantıkçısı ve matematikçisi. Torino Üniversitesinde ve Askeri Akademi'de sonsuz küçükler hesabını okuttu. Bütün mantık ve matematik önermelerini günlük dile başvurmaksızın ifade etmek olanağını veren bir işaretler sistemini buldu. 1903 yılında İngilizce, Fransızca ve Almanca'da ortak olan gramersiz bir Latince dilini oluşturdu. Bu gün, sayıların oluşturulmasında Peano aksiyomları kullanılan bir yöntemdir.

MATEMATİK DAHİLERİ 9

ÖKLİD

(Yaklaşık MÖ 300 dolayları)

Yunan matematikçisi. Öklid geometri dünyasında kapladığı bu seçkin yerini kendisinin büyük matematikçi olmasından çok, geometrinin başlangıcından kendi zamanına kadar bilineni Öğeler adını verdiği kitaplarında toplamış olmasına borçludur.

Öklid derlemesini tutarlı bir bütün olmasını sağlamak için, apaçık gerçekler olarak düşünülen beş aksiyom ortaya koyar ve diğer bütün önermeleri (teoremleri) bu aksiyomlardan çıkarır.

Öğeler onüç kitaptan oluşmaktadır. Bunlar
# Benzerlikler, paraleller, Pisagor teoremi
# Özdeşlikler, alanlar, altın kesim
# Daireler
# Çokgenler
# Oran ve orantı
# Çokgenlerin benzerlikleri
# Sayılar teorisi
# - 1 Sayılar teorisi
# - 2 Sayılar teorisi
# - 3 Ortak ölçüsü olmayan büyüklükler
# Uzay geometrisi - 1
# Uzay geometrisi - 2
# Uzay geometrisi - 3

MATEMATİK DAHİLERİ 8

PISAGOR

(Yaklaşık MÖ 580 - MÖ 500)

Yunan filozofu. Doğum yeri olan Sisam Adasından MÖ 529'da Güney İtalya'ya, Crotona'ya göç etti. Crotona bu yörenin zengin liman kentlerinden biriydi. Pisagor buruda biraz kişisel çekiciliği, kendinde varolduğunu iddia ettiği kehanet gücü, biraz da etrafında yarattığı gizemci havasıyla zengin ve soylu delikanlılardan üçyüz kadarını bir çatı altında topladı ve okul kurdu. Pisagor öğrencilerini iki bölüme ayırıyordu : Dinleyiciler ve matematikçiler. Okula dinleyicilik ile başlanıyor başarılı olunursa matematikçiliğe geçiliyordu.

Pisagor öğretisi evrende herşeyin bir sayı ile (özellikle tam sayı) özleştiğini öne sürer. 5 rengin, 6 soğuğun, 7 sağlığın, 8 aşkın nedenidir. Düzgün geometrik şekiller de pisagorculukta önemlidir. Pisagor yeryüzünün düzgün altıyüzlüden (heksahedron), ateşin piramitten, havanın düzgün sekizyüzlüden (oktahedron), suyun yirmiyüzlüden (ikosahedron) yaratıldığına inanır.

Pisagor müzik ile de uğraştı. Telin kısalmasıyla, çıkardığı sesin inceldiğini keşfetti. İki telden birinin uzunluğu diğerinin iki katıysa, kısa telin çıkardığı ses uzun telin çıkardığı sesin bir oktav üstünde olduğunu gördü.

Pisagor, sabah yıldızı ile akşam yıldızının aynı yıldız olduğunu ilk anlayan Yunanlıdır. Kendisinden sonra bu yıldız uzun süre Afrodit olarak anıldı. Bu gün bunun Venüs gezegeni olduğunu biliyoruz.

Pisagor, Dünya'nın Güneş etrafında döndüğünü ileri sürdüğü zaman oldukça sert tepkiyle karşılaşmıştır. Bilimler hakkındaki görüşlerinin ne kadarının ona ait olduğu bilinmemektedir.

Pisagor öğretisini sunduğu felsefe okulunun kurucusudur. Bu okul aynı zamanda dini bir topluluk ve o zamanın politikasına oldukça egemendir. Pisagor'un matematik, fizik, felsefe, astronomi ve müzikte getirmek istediği yenilikleri, buluşları hazmedemeyen bir takım siyasetçi ve gruplar, halkı Pisagor'a karşı ayaklandırarak, okulunu ateşe vermişler, Pisagor ve öğrencileri bu alevler arasında ölmüşlerdir.

MATEMATİK DAHİLERİ 7

ADRIEN-MARIE LEGENDRE

(1752-1833)

Fransız matematikçisi. 1775 ile 1780 yılları arasında Paris Ékole Militaire'de, 1795'ten sonra da Ékole Normale'de matematik profesörlüğü yaptı.

Legendre önceleri sferoidlerin (elipsleri eksenlerinin biri etrafında döndürerek oluşturulan hacimler) çekimleri üzerinde çalıştı. 1783 yılında yayınladığı bu çalışması ile Legendre fonksiyonları diye bilinen fonksiyonları da tanıttı. Legendre, 1794 yılında yayınladığı Geometrinin Öğeleri adlı kitabıyla ün yaptı. Bu kitabında Legendre, Öklid'in Öğeler adlı kitabını yeniden düzenledi, teoremlerin kanıtlarını basitleştirdi.

Öğeler'de Legendre π 'nin irrasyonel sayı olduğunun çok basit bir kanıtını verir. Aynı zamanda π 2 'nin de irrasyonel olduğunu kanıtlar. Gene bu kitapta π 'nin cebirsel bir sayı olmaması gerektiğine ilişkin kuşkularını belirtir.

MATEMATİK DAHİLERİ 6

KURT GÖDEL

(1906-19..)

Avusturya asıllı Amerikan mantıkcısı ve matematikçisidir. Princeton Üniversitesinde Principia Mathematica'nın Benzeri Sistemlerin Formel Hükme Bağlanamayan Önermeleri Üstüne yazılar yazdı. Buradaki iki teoremin yazarıdır. Bu önermelere göre, çelişkisiz bir aritmetik eksiksiz olamaz; çelizmezlik sistemde kararsızlığa yol açan bir önermedir. Modern mantığın kurucusudur.

MATEMATİK DAHİLERİ 5

LEONHARD EULER

(1707-1783)

İsviçreli matematikçi. Basel Üniversitesinden 16 yaşında mezun olduktan sonra St.Petersburg'da akademide çalışmaya başladı (1727). Burada güneşi gözleyerek zamanın hassas biçimde saptanması konusunda çalışmalar yaptı. Bu çalışmalar sırasında sağ gözünü kaybetti (1735). Euler 1741'de Berlin'e gitti ve 1766 yılına kadar Bilimler Akademisisinde kaldı. 1766' tekrar St.Petersburg'a dönen Euler yaşamının sonuna kadar burada kaldı. 1766'da diğer gözünü de kaybetti.

Euler matematik tarihinin en üretken kişilerinden biridir. Matematiğin hemen her dalında araştırma yaptı. Yaşamı boyunca 800'den fazla makale yayınladı.

Euler aynı zamanda bugün de kullandığımız matematiksel simgelerin de isim babasıdır. Bunların arasında π , e , i ve f(.) (fonksiyon gösterimi) sayılabilir.

MATEMATİK DAHİLERİ 4

NIELS HENRIK ABEL

(1802-1829)

Norveçli matematikçi. Genel binom teoreminin ilk ispatı, beşinci dereceden denklemin genel çözümünün imkansızlığının ispatı ona aittir. Abel analizde yeni bir alan açmıştır.

MATEMATİK DAHİLERİ 3

JOSEPH FOURIER

(1752-1833)

Fransız matematikçi. 1789 yılında denklemlerin sayısal çözümüne ait bir çalışmayı akademiye sundu. En önemli yapıtı Isının Analitik Kuramı 1822 yılında yayınlandı.

MATEMATİK DAHİLERİ 2

DAVID HILBERT

(1862-1943)

Alman matematikçisi. Geometriyi tutarlı bir aksiyomatik yapıya kavuşturan kişidir. 1899 yılında yayınladığı Geometrinin Temelleri adlı kitapta bu yapıyı ortaya koymuştur. Hilbert 1885'te Königsberg Üniversitesinde doktorasını tamamladı. 1895'te Göttingen'de matematik profesörlüğüne atandı ve 1930 yılında emekli oluncaya kadar bu görevde kaldı.

MATEMATİK DAHİLERİ 1

JOHANN KARL FRIEDRICH GAUSS

(1777-1855)

Alman matematikçisi. Zamanının gerçek dâhisiydi. 1795'te Göttingen Üniversitesine girdi. 1799'da Cebrin Temel Teoremi olarak bilinen ve n. dereceden bir cebirsel denklemin tam n tane kökü vardır şeklinde ifade edebileceğimiz teoremi kanıtlayarak doktora derecesini aldı.

Gauss matematiğin hemen her dalında çalıştı. 1801 yılında aritmetiğin temel teoremini kanıtladı : Her doğal sayı asal sayıların çarpımı olarak bir ve yalnız bir şekilde gösterilebilir.

Gauss aynı zamanda Öklid'in aksiyomlarını değiştirerek Öklid dışı geometri geliştirdi. Ancak bu çalışmasını yayınlamadığı için aynı konuda çalışmalarını yayınlayan Lobaçevski ve Bolyai, Öklid dışı geometrilerin kurucusu olarak bilinirler.

1832 yılında manyetik olayların ölçülmesini olanaklı kılan birimleri sistemi geliştirdi. Bu nedenle manyetik akı birimi gauss adı verildi. 1833'de bir telgraf cihazı yaptı.

Gauss daha üniversitede öğrenciyken pergel-cetvel kullanarak bir düzgün onyedigenin nasıl çizileceğini bulmuştu. Ayrıca pergel-cetvel kullanılarak her çokgenin çizilemeyeceğini, belirli çokgenlerin çizilebileceğini göstermişti. Bu nedenle doğduğu kent Braunschweig'de Gauss'un onyedi köşeli bir kaide üzerinde yükselen bir heykeli bulunmaktadır.

16 Temmuz 2008 Çarşamba

üss soruları

Bilgisayarın tarihçesi

Bilgisayar, en basit bakış açısıyla bir matematiksel işlemci, yani hesap aracıdır. Aslında aygıtın yaptığı işlem; bilgileri saymak değil, işlemektir.
Bazı kaynaklarda basit hesap makinesi olan boncuk dizini (abaküs), ilk bilgisayar olarak tanımlanmaktadır.
Abaküs
Abaküs

Geçmişi yaklaşık 2000 yıl öncesine dayanmaktadır. 1642 yılında Blaise Pascal (Fransa) tarafından yapılan hesap makinesine her ne kadar "dijital" (sayısal) dendiyse de bugünkü anlamda (LCD) dijital kavramından çok uzaktı. Kaba tuşlarla sayı girişi yapılarak toplama ve çıkarma dışında bir işlem yapılamıyordu.
1671'de Gottfreid Wilhelm von Leibniz (Almanya) tarafından tasarlanan gelişmiş hesap makinesi, ancak 1694 yılında hayata geçirilebilmiş olup, özel dişliler aracılığıyla dört işlemi yapabiliyordu. Ancak Pascal ve Leibniz tarafından yapılan bu aygıtlar yaygın kullanım alanı bulamamışlardır.
Ticari anlamda kullanılabilen ilk mekanik hesap makinesi 1820 yılında Charles Xavier Thomas tarafından yapılmıştır. Charles Babbage ise, uzun araştırmalar ve bir kaç denemeden sonra buharla çalışan otomatik hesap makinesini 1823 yılında yapmıştır. Bu alanda ilk büyük gelişme; 1890'da Hermann Hollerith (ABD) tarafından yapılan ve delikli kart sistemiyle veri girişi yapılan bilgisayar olmuştur. Bu sistemde işlem hızının artması ve hataların azalması büyük bir ilerleme sayılmıştır. Asıl büyük ilerlemenin öncesini Howard Hathaway Aiken, 1937'de Mark 1 adını verdiği bilgisayarda yarı elektronik devreler kullanmakla yapmıştır. Mark 1'de delikli kart sistemiyle çalışmasına karşın; daha önceki benzerlerinden farklı olarak, logaritma ve trigonometri fonksiyonlarını da yapabilmekteydi. Yavaş olduğu halde, tam otomatik olarak çalışması ve uzun işlemleri çözebilmesi ona büyük avantaj sağlıyordu.
İlk bilgisayar Eniac
İlk bilgisayar Eniac

İkinci Dünya Savaşı sürecinde, ordunun daha hızlı bilgisayarlara gereksinim duyması, bilgisayar tarihinde bir devrim yaratan ENIAC'ın yapılmasına yol açmıştır. ENIAC, J. Presper Eckert ve John W. Mauchly ekibiyle 1945 yılında yapıldı. En büyük özelliği; elektron tüpleri (bugünkü çiplerin atası) ve RAM (Random access memory) bellek kullanılması olmuştur. Tasarlanmış programları çalıştırabilme özelliğiyle ENIAC, geniş bir ev kadar (167 metrekare) yer kaplıyor ve saatte yaklaşık 180 kW elektrik harcıyordu. ENIAC'ın ardından kısa ömürlü olan ve DEVAC adı verilen bilgisayar ve, ticari anlamda satışa sunulan ilk bilgisayar olan UNIVAC'ın yapılması, 1952 yılına dek uzanmıştır.
İlk ticari bilgisayar Univac
İlk ticari bilgisayar Univac

1960'lı yıllardan sonra elektron tüplerinin yerini önce transistörler, daha sonra da yüzlerce transistörün birleşimi olarak tarif edilebilecek entegre devreler yer almıştır. Bugün bilgisayar teknolojisinde kullanılan mikroçipler ise, bir çok entegre devrenin birleşip küçültülmüş halidir.
Kişisel bilgisayar
Kişisel bilgisayar

Bilgisayarların çalışma prensibi; matematiksel işlem temeline dayanır. Çeşitli programlama dilleri ile hazırlanmış olan yazılımlar sayesinde, bir çok alanda kullanılabilmektedir. İnternetin insan hayatına girip yaygınlaşmasıyla bilgisayarın önemi daha da artmıştır. Güncel bilgisayarlar kişiselleşerek Personal Computer (PC) adını alarak, cebe sığacak kadar küçülmüş ve hızları büyük aşamalar kaydetmiştir. Gelişen teknolojiyle birlikte Bilgisayar fiyatları da giderek düşmektedir.

Sayı boncuğu

Sayı boncuğu, abaküs veya çörkü, basit toplama ve çarpma işlemleri için kullanılan bir aletir. Boncukların sayılması şeklinde çalışır.

M.Ö. 2400 yıllarında Çin’de geliştirilen abaküs, denizaşırı ticaret yapan tüccarlar sayesinde Girit ve Miken bölgelerinden Avrupa ve Amerika'ya yayılmıştır. Abaküs, hareketli parçalara sahip olduğu bilinen ilk hesap makinesidir. Arap sayılarının ve sıfır kavramının abaküs yardımıyla geliştirilmesi tarih öncelerine gitmekle beraber, halen dünyanın değişik bölgelerinde özellikle okul öncesi çağdaki çocukların matematiksel zekasını geliştirmek amacıyla kullanılmaktadır.

Çağdaş hesap makinelerinin ve bilgisayarların atası sayılan hesap aygıtı olan Abaküs'te amaç 4 ana matematiksel işlem olan toplama, çıkarma, çarpma ve bölme yapmaktır. Babilliler'in buluşu olan abaküs, yüzyıllar boyunca ticarette büyük önem taşımıştır. Abaküsün temeli Girit ve Miken'e dayanmakta ve ilk abaküs örneklerinin hemen hepsinde Girit ve Miken süsleme sanatından örnekler da bulumaktadır.

İlköğretim sınıflarında matematik dersine yardımcı olması amacıyla da kullanılır. Abak (Abaküs), Aritmetik hesaplamaları yapmaya yardımcı bir alet.

En iyi bilinen biçimi (Çinlilerin Suan Pan'ı) dikdörtgen bir çerçevenin içine gerilmiş teller üstüne inciler dizilmesiyle oluşturulan abak, başlangıçta toprağın içine açılan sıra sıra oluklara dizilen taşlardan oluşmaktaydı. Daha sonraları, yuvarlık bilye büyüklüğünde metal top ya da boncukların paralel çubuklar ya da teller üstünde hareket ettikleri biçimi almıştır.

Her boncuk ya da metal topçuğun değeri, büyüklüğüne değil konumuna bağlıdır; belirli bir çizgi üstündeki taşın ya da belirli bir tel üstündeki incinin (boncuğun,topçuğun, vb.) değeri 1, iki tanesi birlikte olunca 2 olur. Bundan bir sonraki tel 10, üçüncü sıradaki tel 100 olarak değerlendirilir. Böylece ikisi 1 değerinde ve biri 10 değerinde üç dizi taş 12'yi, 100 değerindeki bir dördüncü topçuk eklenince de 112'yi gösterir. Yani topçuk ya da boncuğun yeri, değerini belirler ve çok büyük sayılar bile birkaç topçu ya da boncukla gösterilebilir. Topçuklar bir yöne kaydırılarak işlem yapılır; elde edilen değeri silmek, yani topçuğu bir sonraki kullanıma hazırlanmak istenirse, tersi yönünde kaydırmak gerekir. Abak, görünüşte basitliğine karşın, toplama makineleri, elektronik hesap makineleri ve bilgisayarların hazırlanmasına katkı bulunmuştur.

Matematik

Matematik (Osmanlıca: Riyaziye), ardışık soyutlama ve genellemeler süreci olarak geliştirilen fikirler (yapılar) ve bağıntılardan oluşan bir sistemdir.[1] Bu yapıların ve bağıntıların oluşturulması sezgi gerektirir.Sezgi,hayal gücü ve tümevarımcı düşünme süreçlerini kapsar. Bağıntılar yapılar arasındaki ilişkilerdir;yapıları birbirine bağlar.[2] Matematiğin yapısında elemanlar ve önermeler vardır. Elemanlara nokta,doğru,düzlem,üçgen gösterilebilir. Önermelere ise "Üçgenin iç açıları toplamı 180° 'dir" örneği verilebilir. Ancak matematik doğru hüküm veren önermelerle uğraşır.

Matematik insan tarafından zihinsel olarak yaratılan bir sistemdir. Bu durum matematiği soyut hale getirir. Bir çok matematikçi matematiği bir bilimden çok sanat olarak görerek araştırdıkları alanları sadece saf bir estetik kaygı ile incelerler. Matematiği bilimin dili olarak ele alıp, pozitif bilim saymayan filozoflar da vardır.